八、 数学家们对数学中的“悖论”也不得不接受

天茂

　　大家知道，数学一向以准确、严谨著称。但它终究是现实世界的一个抽象反映，当数学发展到一定程度的时候，现实世界的矛盾和实际生活中的链条就必然要反映到数学中来。因此，除历代数学家发现的链条式悖论，我们仍然还可以在较高等的数学分支（即大系统）中找出一些自相矛盾的地方来。

　　例一：在微积分教学中，“住店问题”是作为一个理解“无穷”这个特殊概念的典型特例经常被引用的。这个例子说，当旅店有N个单人房间时，是不可以住下N+1个客人的。但是，当N=∞（无穷大)时，这个旅店却完全可以住下N+1个客人。这是因为∞+1=∞。像N+1=N这样的结果在有限数的运算中显然是行不通的，但在无限数的运算中却不可思议地出现了。

　　例二： 偶数集是自然数集的一个真子集，这是一个显然的事实，因为偶数集需要与奇数集合并起来，才能形成自然数集。显然，自然数集的元素个数要大于偶数集中的元素个数；但是，早在1638 年，意大利天文学家伽利略就利用一一对应的方法证明了自然数集和自然数平方的集合这两个集合中的元素个数都一样多，史称“伽利略悖论”。后来，德国数学家康托还证明了一条线段上的点和一个平面上的点一样多，一个平面上的点和一个空间内的点一样多，这就相当于证明了1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点以及整个地球内部的点都“一样多”。这样的一个悖论和历史上著名的芝诺悖论一样，其结论虽然与显然的事实相矛盾，但是却在逻辑推理上毫无漏洞，是无法反驳的。其原因仍然是因为涉及到了无限。

　　例三：实变函数论中，曾被严格地从代数上证明有理数是可列的而实数是不可列的（或称不可数的）。在这里，请看一个从宏观角度出发的推论：
　　因为实数集与数轴上的点有着一一对应的关系，又由实数的可比性和数轴的有向性知，实数在数轴上的对应点是有序的，也就是说，数轴上的点集是按一定顺序排列着的无穷点集。因此，实数是一个可列集。故实数可列。换句话说，数轴本身正是实数在几何上的一个排列形式。
　　在数学上，“可数”和“可列”是同一个概念。但从字义上看，显然“数”具有代数意义，而“列”却具有几何意义。因此，对这两个概念可以分而论之。事实上，实数虽然找不到它的代数排列方式，但却有一个几何排列形式明明白白地摆在我们面前，我们没有理由对此视而不见；另一方面，有理数虽然可以找到它的代数排列方式，却不易找出它的几何排列形式。在这里，可数与不可数、可列与不可列、实数与有理数和代数与几何一样，处于一种完全对等的地位，就像康德的“二律背反”那样，矛盾的双方均不能从理论上驳倒对方。

　　从例二和例三看出，康托的实数理论与人们的宏观感受是如此地不合，难怪他在晚年精神崩溃以后要死于精神病院，也难怪他这一套毫无纰漏的实数理论至今仍然未被数学界普遍接受和承认。

　　例四：对于数学中的某些规定，如公理、公设及定义，只要由此推出的系统没有矛盾，就被认为是合理的和一致的。但由于这些规定的人为性，因此，并不一定都是客观现实的真实反映，有的甚至故意违犯客观现实，却同样能够推出了满足相容性（一致性）的系统来。问题的关键在于，号称严谨的数学家们竟然容忍了完全互不相容的多套系统同时并存这种与他们的思维方式格格不入的现象。最为典型的例子，当然就是欧氏几何学与非欧氏几何学同时并列称雄于现代数学几何领域的情形。事实上，这三套“几何”（欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何）系统，由于其公理系统互相矛盾的特性，已经在数学世界里构成了一个大大的“悖论”。

　　我们知道，欧氏几何公理系统中的第五公设的一个等价命题为：过直线外一点有且只有一条平行于该直线的直线。这和我们对客观世界的感受好像非常一致。但是，俄国教授罗巴切夫斯基和德国数学家黎曼却故意违犯人们的感觉，而分别将第五公设改为：“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”和“过直线外一点无与该直线平行的直线”，由此创立了与欧氏几何一样和谐的罗氏几何与黎曼几何。现代科学的发展却发现，在人类生存的这个不大不小、不远不近的空间里，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界里，罗氏几何更符合客观实际；而在地球表面上研究航海、航空等实际问题，甚至在爱因斯坦的广义相对论中，黎曼几何都得到了很好的应用。

　　因此看来，所谓绝对严格、绝对完美不仅在现实生活中不会实现，即使在数学这样严格应用形式逻辑的学科里，最终也只能是一句空话。因此，在某种程度上容忍“悖论”的存在，对于数学家们来说，也是一种无奈之举。

　　例五：“莫比乌斯（Mobius）带和克莱因（Klein）瓶(见图7-2)只是作为拓扑几何的著名范例而被充分研究，作为几何图形的性质它们是清晰、简单、甚至是优美的，但人们对它的所表达的事物性质却迷惑不解，几乎所有的数学家、哲学家、爱好者都对它的性质着迷，难于理解这种简单的几何图像所表达的神秘性质：两个面如何是一个面？一个面又如何是两个面？它们是从形式的流变中的揭示了几何学的哲学，用几何学的方法表现了最深刻的哲学原理，这种西方哲学和几何学所未充分了解的秘密却在古代中国思想家中得到了充分的领悟。如果我们把莫比乌斯带和克莱因瓶进一步进行抽象的综合，即去掉它们的空间性质，我们可以得到一个更加抽象的思想图式，它就是中国太极图 (见图7-2) 。它抽象地表达了存在于一切事物之中的绝对性质——阴与阳和它们的统一，这就是古老的中国理念‘道’和‘易’。28”


                                               图7-2