十六、 什么情况下需要消除“悖论”

天茂

　　通过第二章和本章的讨论，我们可以得出如下的结论：

　　当我们在研究严格遵循“时空冻结、因素单一、数量有限”三个规则的形式逻辑范围内的问题时，当我们在讨论抽象的、理论的、静止的、局部的、孤立的问题时，当我们在研究绳子式公理化系统的内部而不考虑其完备性时，就要保证一致性和严格性，不能容许在系统内部产生一丝一毫的矛盾与悖论。

　　当我们在研究具有“时空变换、因素综合、数量无限”特征的辩证逻辑范围内的问题时，当我们在讨论具体的、现实的、运动的、整体的、互相联系的问题时，当我们在研究超出公理化小系统，进入链条式的大系统的范围，为了基本概念的完整意义，就要首先保证系统的完备性，而对一致性和严格性的要求有所降低，容许在系统内部保留一定程度的矛盾与悖论，即使在最严格的数学系统中也是如此。

　　还是本书在第三章就已经提到过的，建议把整个数学分为大小两类系统。

　　小系统的建立已经基本完成，如ZFC和BNG公理系统；而大系统则要抛弃公理化方法，重新建立一种具有链条结构的系统化方法。
　　下面的表-2，对大、小两个科学系统以及现实中的巨系统进行了对照和比较，这是一个很不成熟的想法，希望和有兴趣的读者共同来完成。
　　
　　表-2：科学系统与现实系统比较对照表

　　
　　这里的“巨系统”采用了钱老的提法。20世纪70年代末，钱学森指出：“我们所提倡的系统论，既不是整体论，也非还原论，而是整体论与还原论的辩证统一”。钱老的这个系统论思想后来发展成为他的综合集成思想。

　　当然，数学领域大小系统的建立，对于数学界来说，将是一场巨大的、史无前例的阵痛，因为它触动了数学最敏感的神经——严格性。但是，这样一来，过去许多数学家不被认可的有益的工作，将会堂而皇之地进入数学殿堂，归于大系统范畴，人们再也不会对诸如康托的集合理论说三道四了。数学大系统内部不仅将会出现更多的矛盾和链条（这项工作似乎早已已经有人开始在做了）。而且整个数学也将成为一个更加完善、与现实联系得更加紧密、各个分支之间也会联系得更加紧密的有机结合体。或许还将导致我们对整个数学学科的重新认识。

　　但这无疑是符合人类社会历史发展规律的。