九、 哥德尔不完全性定理的实质是什么

天茂

仔细想来，所谓公理化方法，之所以在集合论这类成熟的大系统内不能很好运用的根本原因，就在于它存在着这样一个致命的弱点：即认为系统里必须有个始点，也就是说，任何系统要由绳子来组成，而不能是链条结构的。

这在数学还处在低级阶段时确是这样。所以在19世纪末以前的一千多年来，在数学的一些较小分支，特别是在欧氏几何中，公理化方法确实也显示了它强大的生命力。但随着数学系统进一步的发展和完善，尤其是集合论的创立和罗素悖论的发现，公理化方法的弱点就一步步地暴露了出来。

请观察、比较一下图2-3中的这两幅图，我们不难发现这样一个结论：完整系统的内部完全可能出现矛盾（图2-3(a)的任二边与另一边的立体性相矛盾）；而一个残缺系统（图2-3(b)）的内部，则一定可以避免这样的矛盾。这就是说，在一个系统内部，要想满足一致性，则完全性就要受到损失，这就是绳子结构的特性；反之，若想追求完全性，必然导致矛盾的产生，使一致性受到破坏，这正是链条结构的特性。这不禁让人想起“抱残守缺”、“金无足赤、人无完人”之类的老话来。

我国文学巨著四大名著之首《红楼梦》为什么魅力无穷？这和丢失了八十回以后的二十八个章节有着极大的关系。随着红学研究的深入发展，高鹗的四十回续集越来越受到人们的指责，在现代红学界，几乎是给予了全盘否定，许多学者对高鹗简直是深恶痛绝；同样的道理，古希腊雕塑“断臂维纳斯”为什么也会魅力无穷，给人以无穷的遐想？这和其“断臂”也有着极大的关系。历史上也曾经有许多人妄图接上断臂，但结果都以失败而告终。

值得注意的是，1931年哥德尔证明的“不完全性定理”也具有类似的结论：对于那些重要的系统，一致性和完全性是不相容的。这里哥德尔所指的“重要的系统”，推而广之，正是我们现在讨论的发展得较为完善、较为成熟的链条式大系统。钱学森教授称之为“巨系统”。


图2-3  完备系统和一致系统结构比较图