十五、 两类“悖论”产生的根源都是“无限”

天茂

　　悖论有多种分类方法，如：

　　广义悖论和狭义悖论之分、逻辑学悖论与语义学悖论之分、理论悖论和现实悖论之分,等等。

　　但从形式上来看，也可以将悖论分为“自指”与“非自指”两种类型。

　　“自指”型悖论，其无限性需要通过分析，才能发现有∞层次，而在∞＋1层中达到了“自指”，由此导致悖论的产生。如：罗素的“集合悖论”、康托“最大基数悖论”、理发师悖论、说谎者悖论、苏格拉底悖论、“言尽悖”,等等。

　　“非自指”型悖论，其中包含的无限性大多是不言自明的。比如：芝诺的四个经典悖论，都是把一段有限的长度分割为无限等分，才形成的悖论，这类悖论在有了极限理论以后，用无穷递缩等比数列的求和方法很好破解。但是，对于利用一一对应的方法，得出偶数集与自然数集元素个数相等（即偶数集与自然数集甚至有理数集等势）的结论，显然与整体大于部分的公理相矛盾，这个悖论，只有在无限集中才会出现，至今不见有人对此进行破解。

　　对这两种类型悖论进行分析以后，我们看到，任何一个悖论的产生，都和无限——“无穷大”或“无穷小”密切相关。在有限的情况下，或者说在绳子式的小系统（如欧氏几何）中，是不可能出现悖论的，要出现的只是一些不易察觉的“错误”。

　　这就是悖论产生的真正根源所在。

　　经济学家汪丁丁教授在“略论数学与社会科学方法的关系”的讲座中说道：“凡是数学家，都容易精神崩溃。为什么呢？因为数学家需要面对数学根本问题，需要努力去理解‘无限’概念，并且在这里陷入悖论。”真是英雄所见略同。