七、逻辑学和数学在成熟完善的时候也会出现“链条”

天茂

在诸如逻辑学、数学之类的以抽象概念为研究对象的学科里，因为严格遵守一致性、相容性等原则，严格按照同一律、矛盾律和排中律来进行推理，因此，只认绳子，不认链条。或者说只承认链条中的一般环节，不承认链条中的特殊环节。这在学科处于不太成熟，不太完善的时候，即学科处于“阶段二”的前半截时，也是顺理成章的事情。但是，这些学科虽然抽象，但仍然是现实世界的反映，是对现实中具体事物的抽象，而现实中存在链条又是不能否认的事实。因此，随着学科逐步的深入和发展，链条结构必然要反映到这些学科里来。“悖论”问题的出现，就是较为典型的一个例子。说穿了，所谓悖论，其典型结构，不过是一个只有两个环节（一个“普通环”和一个“关键环”组成）的链条罢了。而“悖论”本身，则是逻辑系统大链条中的一个“关键环”。本书在第七章将对此进行专题讨论。

早在18世纪，德国古典哲学的创始人康德就提出的矛盾的必然性思想，早已被绝大多数的哲学家、科学家们所接受。但是，由于数学这一领域比其它学科有着程度更高的严格性，使得许多的数学家、科学家们总以为在数学这块世外桃园里，可以躲避“矛盾”这一怪物的骚扰。

一致性（也叫相容性）和完备性（又叫完全性），是多少年来一代又一代的数学家们孜孜以求的最高目标。自从希尔伯特于19世纪建立了完整的欧氏几何公理体系以后，数学家们似乎找到了通往这一目标的一条光明大道──公理化方法。他们曾满怀信心地希望将每一个数学分支以至整个数学大厦以公理化系统的形式加以发展和建立，而且最终能够证明这个系统既是一致的，而且还是完备的。

但数学在近代的发展，彻底打破了这个美好的梦想。

自从罗素的“集合悖论”发现以来，数学家们为消除悖论，想尽了种种的办法，也在集合论中建立了几个不同的公理化系统，对古典集合论进行许多严格的限制。但是，在这些系统中，虽然都暂时避免了悖论的产生，却不是使得集合变得残缺不全，就是不能保证以后不会再出现别的悖论。更为重要的是，至今没有一个大系统能够证明自己同时满足一致性和完备性。尤其是1931年奥地利数学家哥德尔证明的“不完全性定理”的发表，像是给了人们当头一棒，使得许多数学家蒙头转向，再也看不清当初想象中光辉的前景和光明的大道了。不过，“塞翁失马，焉知非福”，数学家们由此引起对数学基础问题的大讨论，不仅导致了三大派别（形式主义、逻辑主义和直觉主义）的产生，也因此推动了数理逻辑的巨大发展，给20世纪带来了一场最重要的技术革命——电子计算机的诞生。可以预计，三大流派的融合，也将给纯数学的研究带来更加巨大的突破。