开 天 之 元 辩

俞明三

                                                                  

                                                                       开 天 之 元 辩
                                                                           -----从函数概念的发展看函学的哲理表达
     自函家学说问世以来，各方哲友颇多惊喜，无不觉得此乃“新说异论”中吸引眼球之一论（中国学术论坛光明网友语）。同时，有些热心哲友也提出一些质疑，诸如函数能否表达世界一切，时间是事物的存在形式，只能是因变量等等。这些质疑涉及函家学说的根本内涵，为此专文阐述。又因开天第一、第二之辩分别阐述的是概念、判断与推理。本文虽作于其后，但属本源之语，故而称之为“元辩”。
     函家以函立说，在对函数之义的追寻中，就会发现，函数概念的发展正是对世界一切如何进行哲理表达的追寻。
　   函数概念来源于研究实际运动时，代数学中不定方程的研究。由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽。
自哥白尼的天文学革命以后，运动变化就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等等，其中“质量、时间、路程（距离）、速度、加速度”等之间的关系问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从这些运动的研究中引伸出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源。
     早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等。1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义。
1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。由此可以看出，函数一词最初的数学含义是相当现实、广泛而较为模糊的。几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用另一名词“流量”来表示变量间的关系。
     直到1689年，瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义，贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为y（x）。
当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算，所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子，取名为解析函数，还将它分成了“代数函数”与“超越函数”。
18世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法。在解释“任意的函数”概念的时候，达朗贝尔说是指“任意的解析式”，而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”。现在看来这都是函数的表达方式，是函数概念的外延。
     函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与实践的尖锐矛盾．例如，偏微分方程在工程技术中有广泛应用，但由于没有函数的科学定义，就极大地限制了偏微分方程理论的建立．1833年至1834年，高斯开始把注意力转向物理学．他在和W·威伯尔合作发明电报的过程中，做了许多关于磁的实验工作，提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论，使得函数作为数学的一个独立分支而出现了，实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究。
后来，人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖着另一个量，当后一量变化时前一量也随着变化，那么第一个量称为第二个量的函数．“这个定义虽然还没有道出函数的本质，但却把变化、运动注入到函数定义中去，是可喜的进步。”
在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影响最大，富里埃深刻地揭示了函数的本质，主张函数不必局限于解析表达式。1822年，他在名著《热的解析理论》中说，“通常，函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的……，我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个。”在该书中，他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数。
富里埃的研究，从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想，在当时的数学界引起了很大的震动。原来，在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了，那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍。
通过一场争论，产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义。
1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每个x都有确定的值，并且随着x一起变化。函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法。函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。”这个定义建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重大发展，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分。
1837年，德国数学家狄里克莱（Dirichlet）认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，所以他的定义是：“如果对于x的每一值，y总有完全确定的值与之对应，则y是x的函数．”
根据这个定义，即使像函数中，如果x由0逐渐增大地取值，则f（x）忽0忽1．在无论怎样小的区间里，f（x）无限止地忽0忽1。因此，它难用一个或几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表达式也是一个问题。但是不管其能否用表达式表示，在狄里克莱的定义下，这个f（x）仍是一个函数。
狄里克莱的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。
     生产实践和科学实验的进一步发展，又引起函数概念新的尖锐矛盾，上世纪20年代，人类开始研究微观物理现象．1930年量子力学问世了，在量子力学中需要用到一种新的函数——δ-函数。
     δ-函数的出现，引起了人们的激烈争论．按照函数原来的定义，只允许数与数之间建立对应关系，而没有把“∞”作为数。另外，对于自变量只有一个点不为零的函数，其积分值却不等于零，这也是不可想象的。
   函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展，产生了新的与世界一切完全对应的现代函数定义：
　　“若对于集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上可定义一个函数，记为y=f（x）。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”
函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字，但却是概念上的重大发展，是数学发展道路上进一步全面对应世界的重大转折。近代的泛函分析可以作为这种转折的标志，它研究的是一般集合上的函数关系。
函数的现代定义，与世界一切的对应，应该说已经相当完善了。但函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结，近年来，数学家们又把函数归结为一种更广泛的意义—---“关系”，从而对以“过程集合”的世界，所具有的“一切关系”的表达（包括连续的不连续的所有表达）都以集合的形态一揽无遗。
设集合X、Y，我们定义X与Y的积集X×Y为
X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．
积集X×Y中的一子集R称为X与Y的一个关系，若（x,y）∈R，则称x与y有关系R，记为xRy 。若（x,y）R，则称x与y无关系。
现设f是X与Y的关系，即fX×Y，如果（x,y），（x,z）∈f,必有y=z，那么称f为X到Y的函数。在此定义中，已在形式上回避了“对应”的术语，全部使用集合论的语言，从而可用来表达世界的一切过程集合之间的关系了。
     综上所言，函数概念的发展，突出地表现了三大阶段性类型，即：变量性函数、对应性函数、关系性函数。从而一步一步从部分地表达世界到全面地表达世界，显示出函数对世界一切可进行全面描述的强大功能。
     由此我们可以看出，函学提出“一切都是以时间为自变量的函数”这一基本命题中，有关“世界一切是函数”的哲理，有着无可辩驳的经过无数次实践检验的数学基础。
     至于，这些函数的自变量，为什么非是时间不可的原因，我们可从世界一切的变化，都以时间为最高抽象来说明。
     先哲们关于“世界是个过程的集合”的公认结论说明世界时刻在变。天在变，地在变，人在变，存在在变，关系在变，总之一切在变。有变无，无变有，生的变死，死的变生，无数有与无的变化，抽掉具体变的内容，剩下的“共有”就是黑格尔说的“纯变”，就是老子说的“无极”了。这纯变，这无极，用现代常用的名词来表达应该就是“时间”。因为人们常识中用来表示事物变化的时间，实质上所指的，恰恰就是一切具体变化所共有的东西。世界一切在变，谁也无法使它不变。其主动在哪里？就在时间！如果说一切变的关系是函数关系的话，那么一切变只能是因变量，自变量只能是不受牵制的自在流逝的时间！无怪乎，无数先哲思想者发出：时不我待！逝者如斯夫！生不逢时！一切因时而变！此一时，彼一时也！三十年河东，三十年河西！等等的深切感叹！时间，太神圣了！问苍茫大地，谁主沉浮？时也！中国当政者提出“与时俱进”的号召，是何等的英明！
     由此，函家提出“一切都是时间为自变量的函数”的哲学命题，也就是顺理成章。同时由此演绎出的函家哲学，也就完全建立在无法否认的实践基础上了。