十四、 “集合悖论”和“说谎者悖论”中都隐藏着“无限”

天茂

　　但是，也有一些“悖论”表面看来好像与“无限”无关，但是，透过这个现象，其实质仍然隐藏着“无限”，比如“罗素集合悖论”和“说谎者悖论”。

　　下面，我们就具体来分析一下这两个典型悖论的“无限”本质。

　　按照罗素本人为消除悖论而创立的“类型论”，可把集合分为如下的层次：

　　零类：个体．
　　１类：以个体为元素的集合．
　　２类：以１类集为元素的集合．
　　……
　　n类：以（n-1）类集为元素的集合．

　　把类再并为级：

　　零级：个体．
　　１级：零类集Ｕ１类集．（Ｕ为集的合并）
　　２级：零类集Ｕ１类集Ｕ２类集．
　　……
　　n级：零类集Ｕ１类集Ｕ２类集Ｕ……Ｕn类集．

　　这样，在有限级集合中，可以有效地避免罗素“集合悖论”的产生。因为在任意的n（n为自然数）级集合中，不会出现以自己为元素的非常集，只有在（n＋1）级集合中才会出现包含n级集合的集合。但是现实中，非常集却是大量地存在着。问题出在哪里呢？仔细想来，正是因为我们认为n是一个有限数而引起的。假如我们承认了“n可以等于∞”，那么，在∞级集合中就可以找到包含自身的非常集。因为∞＋1＝∞，所以∞＋1级集合与∞级集合就是同一级集合。仔细想一想，所谓由非马组成的集合不正是这样的一个∞级的集合吗？因此，悖论的产生也就是必然的了。

　　同样，我们也可以用塔尔斯基仿照“类型论”而提出的“层次语言”的理论来分析一下“说谎者悖论”。

　　把语言分为如下层次：

　　零层：基本语言；
　　１层：可论述零层语言（即元语言）；
　　２层：可论述１层语言的语言（即元元语言）；
　　……
　　n层：可论述（n－1）层语言的语言；

　　这里的“论述”二字，含有评价、形容、描述、表示等意义。

　　这样，在任意的某一个n层语言里就不会说出自己对自己进行评价的话来。而只有在比n层语言高一级的（n＋1）层语言里，才有资格评价n层语言。因此，“说谎者悖论”也就不会产生了。但是，把分层理论限定在有限层的做法，早已受到了人们的批评。因为这样做，会把我们美妙的语言结构变为没有价值的僵死之物，何况人们在进行语言交流时，并不能意识到所说的话是否在各个语言层次中跳来跳去。但如果我们把“我现在说这句话”看成∞层语言，则对“我现在说这句话”进行评论的语言只能是∞＋1层，同样由于∞＝∞＋1，因此“我在说这句话时正在撒谎”的悖论也就产生了。

　　著名的“康托悖论”也是基于同样的思考：“一切集合的集合是什么？”对于这个问题，数学家必须反思他自己的数学行为，必须一层一层地上升到无限高的层次。无限，注意，把这个过程取极限，如果你能想像这个极限的话，你也就到了康托精神崩溃的边缘了。
　　因此可以说，“无限”才是悖论产生的最终根源。