一、 无限和有限的本质区别在哪里

天茂

　　现实中的数总是有限的。但是在数学上，任意大的数都是可以寻找和制造出来的。比如：截止2008年9月,人类发现的最大的素数是 2^43,112,609-1, 共有12,978,189 位数，这是第46个梅森(Mersenne)素数。这个数就比现实中只有81位的最大数大多了。

　　但是，这些数再大，也是有限数，它们和无限数比较起来，有着本质的不同。比如：
　　∞+0=∞+1=∞+1080=∞+（2^43112609-1）=∞；
　
    0/∞=1/∞=1080/∞=（2^43112609-1）/∞=0；

　　……等等。这些在有限数中不可思议的算式，却在无限数的运算中出现了。

　　更有甚者，四则运算中的许多法则，在涉及到无限的时候，也会遇到麻烦。这里再举出笔者博客中的一个例子，说明在遇到“无限”的时候，数学运算也往往会不知所措：
　　
　　无穷个零相加可以等于任意整数之证明

　　“无穷”是一个令人尴尬的数。
　　数学中许多坚定不移的定理和运算法则，在碰到“无穷”的时候，往往会产生疑问和歧义。
　　例如，在数的加减法运算中，我们常常利用交换率（a+b=b+a）和结合率（(a+b)+c=a+(b+c)），使运算简便。
　　比如我们在计算下面的两道题时，正是如此：
　　1-1+1-1+1-1+1-1=？  ………………①
　　1-1+1-1+1-1+1-1+1=？………………②
　　对于上面两个等式，不管你如何应用交换率和结合率，其结果都不会出现歧义，永远都是一种结果。
　　①式的计算：
　　原式=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)=0         （结合率应用）
　　原式= 1-(1-1)-(1-1)-(1-1)-1 =0         （结合率应用）
　　原式= (1+1+1+1)-(1+1+1+1)=0         （交换率结合率应用）
　　原式=-(1+1+1+1)+(1+1+1+1)=0         （交换率结合率应用）
　　②式的计算：
　　原式=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+1=1         （结合率应用）
　　原式= 1-(1-1)-(1-1)-(1-1)-1 +1=1         （结合率应用）
　　原式= (1+1+1+1)-(1+1+1+1)+1=1         （交换率结合率应用）
　　原式=-(1+1+1+1)+(1+1+1+1)+1=1         （交换率结合率应用）
　　但是,如果我们要计算下面这道题时,却会出现大大的困惑:
　　1-1+1-1+1-1+1-1+…=？
　　一方面，
　　原式=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+…=0       （结合率应用）
　　另一方面：
　　原式=1-(1-1)-(1-1)-(1-1)-(1-1)-…=1     （结合率应用）
　　甚至还可以：
　　原式=-1+1-1+1-1+1-1+…=-1+(1-1)+(1-1)+(1-1)+…=-1   （交换率结合率应用）
　　或者还可以：
　　原式=1+1+1-1-1-1+1+1+1-…=(1+1+1)-[(1+1+1)-(1+1+1)]-…=3（交换率结合率应用）
　　也就是说，只要适当运用交换率和结合率，我们可以使这个等式的结果为任意一个整数！

　　问题到底出在哪里呢？

　　看来，都是“无穷”惹的祸！
　　
　　更为严重的是，“无限”还会导致“悖论”！