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天茂 发表于 2010-5-12 11:13

十三、 “无限”是悖论产生的最终原因

[i=s] 本帖最后由 天茂 于 2010-5-12 11:36 编辑 [/i]

[align=left]  我们如果仔细地考察悖论问题的话,就会发现,“数量有限”的规则也常常被破坏,因此,伴随着悖论出现的,还有一个忽隐忽现的幽灵,那就是——“无限”。

  我们可以回忆一下,数学史上的“第一次危机”的起因——无理数的发现、芝诺“飞矢不动”等四个经典悖论的提出以及“第二次数学危机”的起因——贝克莱主教对牛顿《流数法》中无穷小量的攻击,无不都与“无限”这个幽灵有着直接的关系。

  在古希腊的数学家们看来,一切数都可表示为两整数之比。但是,后来却突然冒出一个似数非数的“怪物”——√2,把人们一下子打晕了!说它不是数,但是它却是单位正方形对角线的长;说它是数,但这个“数”竟然不能用两整数之比来表示!这个既是数又不是数(注意:这又是“三”的特征)的“怪物”的出现,给视形式逻辑为最高理念的哥达毕拉斯学派的学者们感到简直不可理喻!以至于大家一致决定把发现此“怪物”的同伴抛到河里淹死。当然,现在我们都知道,无理数的本质就是无限不循环小数,人类在此第一次感受到了不经意间把数学空间由“有限”置换为“无限”而导致的逻辑矛盾带来的困惑。

  同样的道理,芝诺的“飞矢不动”和“阿基里斯永远也追不上乌龟”等悖论,把有限的现实时空,进行了无限的分割,这在微积分还没有发明的古希腊是无论如何也没法理解的,这就使得人类又一次感受到了“无限”引出的悖论带给人们的困惑。

  18世纪初,贝克莱主教对无穷小量的嘲笑,使得人们再一次感受到了“无限”带来的困惑。虽然后来几代数学家对极限理论的逐步完善几乎达到了尽善尽美的程度,但是,微积分的初学者,在这个地方似乎总是存在一个巨大的鸿沟,许多的人经过多年的训练,似乎总是迈不过这个坎,“无穷小量既是零又不是零”的不确定性成为微积分学习中最大的绊脚石。

  其实,古希腊的数学家早已发现“无限”可以引来悖论,所以他们在推理中都极力避免使用“无限”概念。但是,由于近代数学极限理论的建立,使得数学家们以为可以放心大胆的使用“无限”概念了,甚至将“潜无限”大胆地扩张为“实无限”。万万没有想到的是,这样的做法竟然引来了对人们的震动更为强烈的、致使“第三次数学危机”发生的“集合悖论”这样更严重的逻辑矛盾!

  我们前面提到的数学中前三个矛盾的例子,很显然都与“无限”有关。但是例四和例五中的无限在哪里呢?

  我们知道,由于对“过平面上直线外一点,能引几条直线与已知直线平行”问题的不同回答,导致了三个相互矛盾的几何系统的建立。认为能做一条的是欧氏几何,能做至少两条的是罗氏几何,一条也不能做的是黎曼几何。那么,真正要判断两条直线是否平行,必须得考察“无穷远”处的情况。这就是例四中的“无限”。

  至于莫比乌斯带和克莱因瓶中的“无限”,左思右想也不知在哪里?据我的推断是永远也找不到了,因为逻辑一碰到现实,综合因素就参和进来了,于是,“三”就出现了,因此,无需“无限”的参予,也能导致悖论。莫比乌斯带用手工似乎很好制作,我们可以将纸带的一个头旋转180°,然后将两个头用胶水粘起来就成。但是,莫比乌斯带和克莱因瓶的两个头在3DSmax(电脑三维动画软件)中却怎么也不能被真实地粘接起来,仔细想来,这是因为电脑软件采用的是严格的逻辑原理,其中所有的判断都是单一有限因素下的非真即假,所以在同一时刻不存在真正的“第三者”,除非遇到“无限”,而这又是不可能的。图7-5(c)展示的克莱因瓶是采用了欺骗的手段才做出来的。过去有文章说克莱因瓶是不可能被制作出来的。但在网上见过老外用玻璃制作的克莱因瓶(图7-6),这里面是否有猫腻?是否有欺骗?我相信是真的,只要综合因素参与进来就能造出悖论。图7-5(a)(b)展示的是笔者用3Dsmax配合photoshop做的悖论图,各位可看得出其中的猫腻?[/align][align=center]

[attach]176[/attach][/align][align=left]                                                                   图7-5  [font=宋体][size=10.5pt][color=#000000]三维动画软件下制作的悖论图[/color][/size][/font]


  静下心来仔细想一想,这些“悖论物”(包括埃舍尔的绘画和用电脑PS35的作品)之所以能被制造成功,还是综合因素在作怪。比如,“粘接”的方法不仅能够用于莫比乌斯带制作,甚至还能将克莱因瓶也制作出来。笔者对此是亲自试验过的。这里确实采用了“欺骗”的手段,因为我们用一张纸来代替一个平面,本身就是已经加进了三维因素,而真正的平面只能是二维的。[/align][align=center]

[attach]180[/attach]  
[color=#000000][font=黑体]图[/font][font=楷体_GB2312]7-6  [/font][font=黑体]老外制作的玻璃克莱因瓶[/font][/color]

  形式逻辑的三大基本规律都在共同强调一个“确定性”。但是,在有限数运算中的“确定性”阵地,在进入无限数的运算中后,丧失了很大的一块,在涉及到无限数的各种运算中,相当大的一部分,其结果是不确定的,发散的,是没有结果的“不定式”,甚至有的极限运算会出现类似悖论结构(A<B<A)的振荡式发散。为此,数学家和逻辑学家们也无可奈何。但是,这不是正好说明我们的这个世界在本质上是有着很强的不确定因素的吗?[/align]

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