九、 哥德尔不完全性定理的实质是什么
本帖最后由 天茂 于 2010-5-2 10:05 编辑仔细想来,所谓公理化方法,之所以在集合论这类成熟的大系统内不能很好运用的根本原因,就在于它存在着这样一个致命的弱点:即认为系统里必须有个始点,也就是说,任何系统要由绳子来组成,而不能是链条结构的。
这在数学还处在低级阶段时确是这样。所以在19世纪末以前的一千多年来,在数学的一些较小分支,特别是在欧氏几何中,公理化方法确实也显示了它强大的生命力。但随着数学系统进一步的发展和完善,尤其是集合论的创立和罗素悖论的发现,公理化方法的弱点就一步步地暴露了出来。
请观察、比较一下图2-3中的这两幅图,我们不难发现这样一个结论:完整系统的内部完全可能出现矛盾(图2-3(a)的任二边与另一边的立体性相矛盾);而一个残缺系统(图2-3(b))的内部,则一定可以避免这样的矛盾。这就是说,在一个系统内部,要想满足一致性,则完全性就要受到损失,这就是绳子结构的特性;反之,若想追求完全性,必然导致矛盾的产生,使一致性受到破坏,这正是链条结构的特性。这不禁让人想起“抱残守缺”、“金无足赤、人无完人”之类的老话来。
我国文学巨著四大名著之首《红楼梦》为什么魅力无穷?这和丢失了八十回以后的二十八个章节有着极大的关系。随着红学研究的深入发展,高鹗的四十回续集越来越受到人们的指责,在现代红学界,几乎是给予了全盘否定,许多学者对高鹗简直是深恶痛绝;同样的道理,古希腊雕塑“断臂维纳斯”为什么也会魅力无穷,给人以无穷的遐想?这和其“断臂”也有着极大的关系。历史上也曾经有许多人妄图接上断臂,但结果都以失败而告终。
值得注意的是,1931年哥德尔证明的“不完全性定理”也具有类似的结论:对于那些重要的系统,一致性和完全性是不相容的。这里哥德尔所指的“重要的系统”,推而广之,正是我们现在讨论的发展得较为完善、较为成熟的链条式大系统。钱学森教授称之为“巨系统”。
图2-3完备系统和一致系统结构比较图
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